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模糊推理课件

  模糊推理系统 ? ? ? ? 模糊逻辑 模糊命题 模糊推理规则 模糊推理系统 模糊逻辑 语言是一种符系统,通常包括自然语言和人工 语言两种。自然语言是指人类交流信息时使用的 语言,它可以表示主、客观世界的各种事物、观 念、行为、情感等。自然语言具有相当的不确定 性,其主要特征就是模糊性,这种模糊性主要是 由于自然语言中经常用到大量的模糊词(如黎明、 模范、优美、等)。人工语言主要是指程序设 计语言,如我们熟悉的C语言、汇编语言等。人工 语言的格式常严密、且概念十分清晰。 模糊逻辑 一切具有模糊性的语言都称为模糊语言 , 它是一种广泛使用的自然语言,如何将模 糊语言表达出来,使计算机能够模拟人的 思维去推理和判断,这就引出了语言变量 这一概念 。语言变量是以自然语言中的词、 词组或句子作为变量 。语言变量的值称为 语言值,一般也是由自然语言中的词、词 组或句子构成。语言变量的语言值通常用 模糊来描述,该模糊对应的数值 变量称作基础变量。 ( X , T ( X ), U , G, M ) 模糊逻辑 一个完整的语言变量可定义为一个五元体 (X,T(X),U,G,M) 其中X——语言变量的名称; ? T(X)——语言变量的语言值; ? U ——论域; ? G ——语法规则; ? M ——语义规则。 实例 以“年龄”作为语言变量X,该语言变 量的论域U取[0, ∞)。根据语法规则可知, 描述语言变量“年龄”的语言值有“年 青”、“中年”、“年老”几种,那么T(X) 可表示为 T(X)=年青+中年+年老 语义规则主要是用来反映实际论域中的岁 数与模糊“年青”、“中年”、“年 老”之间的关系。模糊语言变量的完整描 述见 后图 ? ? 年龄 语言变量 X 语法规则 G 年青 1.0 中年 年老 “年龄”语言变量的五元体 语言值 T(X ) 语义规则 M 论域 (岁) U 0 20 40 60 80 “年龄”语言变量的五元体 模糊逻辑 数理逻辑是建立在经典论上的研究概念、判断和推理形 式的一门学科,又称为经典逻辑。其最大的特点是所反映的内 容非真即假,在客观世界中这样的命题不胜枚举。比如: ◆ 是中华人的首都 ◆ 石头可以当饭吃 但是,还有一类命题很难做出这样明确的判断。比如: ◆ 机动车比自行车的速度更快 ◆ 南方的天气很热 对于这样的模糊性命题,经典逻辑往往不能给出符合实际情 况的结果。模糊逻辑是二值逻辑的推广,可以在[0,1]区间上任 意取值。模糊逻辑运算规则也是以经典逻辑运算规则为基础, 经过适当的扩展而形成的 。 ? ? , ? , ? ? { 0,1} 布尔代数运算性质 若 存在 a,b,c∈{0,1},在布尔代数中则有以下性质 (1) 幂等律 a∧a=a a∨a=a (2) 交换律 a ∧b=b ∧a a ∨b=b ∨a (3) 结合律 (a ∨ b) ∨c= a ∨( b ∨c) (a ∧ b) ∧ c= a ∧( b ∧ c) (4) 吸收律 (a ∨ b) ∧b= b (a ∧ b) ∨b=b (5) 分配律 (6) 复原律 (7) 补余律 (模糊逻辑运算不符合) (8) av1=1 av0=a a∧1=a a ∧0=0 模糊逻辑对应于模糊论,模糊逻辑运算除了不满 足布尔代数里的补余律外,布尔代数的其它运算性质它都 适用。除此之外,模糊逻辑运算满足De-Morgan代数,即 对于补余运算,De-Morgan代数中是这样定义的: 模糊命题 模糊命题是指带有模糊性的陈述句。 模糊命题的真值不是绝对的“真”或“假”, 而 反映其隶属于“真”的程度。模糊逻 辑是表征模糊命题的工具,是研究模糊推理 最基本的数学手段。模糊命题可以分为性质 命题和关系命题两种,通常用大写字母 表示,如: ? P~:金属物体的导电性能好; ~ ? Q :100比1大得多。 ~ A 模糊命题从构成上划分,又可分为简单模糊命 题和复合模糊命题两种。简单模糊命题的一般形 ? ( x) 式为 : A ~ 其中元素x∈X,X是论域;A~是某个模糊概念所 对应的模糊 . 模糊命题的真值,由元素x对模糊A~的隶属程度 ? ( x) 表示。在模糊命题中,“is ”称作模糊谓词。简单模糊命题 通过连接词“且”、“或”、“非”等连接起来,就构成 了复合模糊命题。复合模糊命题一般形式如下: A ~ ? 由于模糊命题间的“且”、“或”、“非” 实质上可以通过模糊逻辑“交”、“并”、 “补”实现。因此,对于复合模糊命题的 真值,需要通过模糊合成运算来求取。 ? 模糊命题之间的“并”、“交”、“补” 基本运算的定义: 模糊推理 推理是根据一定的规则,从一个或几个已知判断引伸 出一个新判断的思维过程。—般说来,推理都包含两个 部分的判断,一部分是已知的判断,作为推理的出发点, 叫做前提(或前件)。由前提所推出的新判断,叫做结论 (或后件)。 推理的形式主要有直接推理和间接推理。只有一个前提 的推理称为直接推理,由两个或两个以上前提的推理称 为间接推理。间接推理又可分为演绎推理、归纳推理和 类比推理等,其中演绎推理是生活中最常用的推理方法, 它的前提与结论之间存在着确定的蕴涵关系。 ? 模糊推理又称模糊逻辑推理,是指在确定的模糊规则下, 由已知的模糊命题推出新的模糊命题作为结论的过程。模 糊推理是一种近似推理,主要有以下两种形式: (1) 已知模糊蕴涵关系“若x是A, 则y是B”,其中A是X上的模 糊集,B是Y上的模糊集,模糊蕴涵关系往往是大量的实验观测 和经验的概括。在模糊推理过程中,认为该蕴涵关系提供的信 息是可靠的,它是近似推理的出发点。又知X上的一个模糊集A*, 它可能与A相近,也可能与A相去甚远,那么从模糊蕴涵关系能 推断出什么结论B*? (2) 已知模糊蕴涵关系“若x是A, 则y是B”,其中A是X上的模 糊集,B是Y上的模糊集,又知Y上的模糊集B*,那么从模糊蕴涵 关系能推断出什么结论A*? ? ? 模糊推理规则 ? 模糊规则也称模糊条件语句,其表达式为: if x is A , then y is B 其中 A和B 分别是论域上的模糊定义的 语言值。 含有多个前提条件的称为模糊规则。 1、近似推理 2、模糊条件推理 3、多输入模糊推理 4、多输入多规则推理 前提1:如果x是A,则y是B 前提2:如果x是 A? , 结论: y是 B? ? A? ? ( A ? B) 第一步: 求 ( A ? B) 的关系矩阵 R R ? A? B ? 第二步:求y B ? ? A? ? R X ?Y ?? A ( x)?B ( y) /( x, y) A? R B? 即:利用关系矩阵可以得到近似推理的隶属 度函数为: ? B? ( y ) ? ??? A? ( x) ? ? A? B ( x, y )? x 模糊关系矩阵元素 ? A?B ( x, y) 的计算方法: 玛达尼(Mamdani)法 ( A ? B) ? A ? B 其隶属度函数为: ? A?B ( x, y) ? ?? A ( x) ? ?B ( y)? ?? R min( x, y) 1,2,3,4,5? X、 , Y 例: 设论域 X ? Y ? ? 上的模糊子集“大”、“小”、“较小”分别 定义为: 0 .4 0 .7 1 “大” ? ? ? 3 4 5 1 0.7 0.3 “小” ? ? ? 1 2 3 1 0 . 6 0 . 4 0 . 2 “较小” ? ? ? ? 1 2 3 4 已知规则:若x小,则y大 问题:当x较小时,y应是多少? 解:已知模糊子集“大”、“小”、“较小” 的隶属度函数分别为: ?A( x) ? ?0,0,0.4,0.7,1? ?B ( x) ? ?1,0.7,0.3,0,0? ?A ( x) ? ?1,0.6,0.4,0.2,0? 由玛达尼(Mamdani)推理法, ? A?B ( x, y) ? ?? A ( x) ? ?B ( y)? ?? R( x, y) 可以得到由“小”到“大”的模糊关系矩阵: ?0 ?0 ? R ? A XB ? ? 0 ? ?0 ? ?0 1? ? 0 0 .4 0 .7 0 .7 ? 0 0 .3 0 .3 0 .3 ? ? 0 0 0 0? 0 0 0 0? ? 0 0 .4 0 .7 于是,当x”较小“时的推理结果 ?B ( y) ? ? A ( x) ? R 即: ?0 ?0 ? ? B ( y ) ? ?1 0.6 0.4 0.2 0?? ?0 ? ?0 ? ?0 1? ? 0 0.4 0.7 0.7? 0 0.3 0.3 0.3? ? 0 0 0 0? 0 0 0 0? ? 0 0.4 0.7 ? ?0 0 0.4 0.7 1? 1、近似推理 2、模糊条件推理 3、多输入模糊推理 4、多输入多规则推理 语言规则:如果x是A, 则y是B, 否则y是C。 其逻辑表达式为: ( A ? B) ? ( A ? C) 那么,x与y的模糊关系矩阵 R 就是直积 X ? Y 的子集,表示为: R ? ( A ? B) ? ( A ? C) 其隶属度函数写作: ? ?? A ( x) ? ? B ( y)?? ?(1 ? ? A ( x)) ? ?C ( y)? ? R ( x, y) ? ? A?B ? ? A?C 于是,当输入为 A? 时,根据模糊推理 合成规则,得到模糊推理输出: B? ? A? ? R ? A? ? ( A? B) ? ( A? C) ? ? 例:对于一个系统,当输入A时,输出为B,否 则为C,且有 1 0 .4 0 .1 A? ? ? u1 u2 u3 0 .8 0 .5 0 .2 B? ? ? v1 v2 v3 0 .5 0 .6 0 .7 C? ? ? v1 v2 v3 0.2 1 0.4 已知当前输入 A? ? u ? u ? u 。 1 2 3 求输出B。 首先求系统的模糊关系矩阵 R R ? ( A ? B) ? ( A ? C) 由玛达尼(Mamdani)法得 ?0.8 ? A ? B ? ? A? B ( x, y ) ? ?0.4 ? ? 0.1 ?0 ? A ? C ? ? A?C ( x, y ) ? ?0.5 ? ?0.5 0.5 0.2? ? 0.4 0.2? 0.1 0.1? ? 0 0? ? 0.6 0.6? 0.6 0.7? ? 则模糊关系矩阵 R ? ? R ( x, y ) ?0.8 ? ? ?0.4 ? ? 0.1 ?0.8 ? ? ?0.5 ? ?0.5 0.5 0.2? ? 0 0 0? ? ? ? 0.4 0.2? ? ?0.5 0.6 0.6? 0.1 0.1? ? ? ?0.5 0.6 0.7? ? 0.5 0.2? ? 0.6 0.6? 0.6 0.7? ? 于是,当输入为 A?时,输出 B ? A? ? R ?0.8 0.5 0.2? ? ? ? ?0.2 1 0.4?? ?0.5 0.6 0.6? ? ?0.5 0.6 0.7 ? ? ? ?0.5 0.6 0.6? 即: 0.5 0.6 0.6 B ? ? ? v1 v2 v3 1、近似推理 2、模糊条件推理 3、多输入模糊推理 4、多输入多规则推理 多输入模糊推理常应用于多输入单输出系统 的设计中,这种规则的一般形式为: 前提1:如果A且B,那么C 前提2:现在是 A?且 B? 结论: C? ? ( A? ? B?) ? ?( A ? B) ? C ? 隶属度函数 ? A?B ( x, y) ? ? A ( x) ? ?B ( y) “如果A且B,那么C”的隶属度函数表达式 就是: ? A ( x) ? ?B ( y) ? ?C ( z) 其模糊关系矩阵 R ? AB ? C ,矩阵的计算就 变成: [? A ( x) ? ?B ( y)] ? ?C ( z) 于是,规则的推理结果为: C ? ? ( A? ? B?) ? [( A ? B) ? C ] ? [ A? ? ( A ? C )] ? [ B? ? ( B ? C )] 其隶属度函数为: ?C? ( z ) ? ??? A? ( x) ? [? A ( x) ? ?C ( z )]? ? ??? B? ( y) ? ?? B ( y) ? ?C ( z )?? y x ? ??? A? ( x) ? ? A ( x)?? ?C ( z ) ? ??? B? ( y) ? ? B ( y)?? ?C ( z ) x y ? (? A ? ?C ( z )) ? (? B ? ?C ( z )) ? (? A ? ? B ) ? ?C ( z ) 其中, ? ? ?( ? ( x) ? ? ( x)) A A? A x ? B ? ?(? B? ( x) ? ? B ( x)) y 分别是指模糊 度。 A A A B A? 与 与 、 B B B? 交集的高 C C 该方法叫做“玛达尼推理消顶法”,它的意 义就是:分别求出 对 B 的隶属度 ? A 对A? 、 B ? A , ?,并且取两者之中小的一个作为总的 B 模糊推理前件的隶属度,再以此为基准去切 割推理后件的隶属度函数,便得到结论 。 C? 对于论域是有限集,即模糊子集的隶属 度函数是离散的情况,多输入模糊推理过程 仍然用模糊关系矩阵的运算来描述。 推理规则:如果A且B,那么C 求: 当 A? 和 B? 时,输出 C ? 是多少? 解: Step1:先求 D ? A ? B ,令dxy ? ?A (x) ? ?B ( y) 得 矩阵D 为 ? d11 d12 ? d1n ? ?d ? d ? d 22 2n ? D ? ? 21 ? ? ? ? ? ? ?d m1 d m 2 ? d mn ? m?n Step2: 将 D 写成列矢量DT, 即 DT ? [d11 , d12 ,?, d1n , d21 , d22 ,?, d2n , dm1, dm2 ,?, dmn ]T Step3:求出关系矩阵 Step4:由 A?,求出 B? R ? DT ? C D? ? A? ? B? Step5:同step2,将 写成列矢量 D? DT ? Step6: 最后求出模糊推理输出量 C ? ? DT ? ? R 1、近似推理 2、模糊条件推理 3、多输入模糊推理 4、多输入多规则推理 IF A1 and B1 THEN C1 IF A2 and B2 THEN C2 ? IF Am and Bm THEN Cm 一系列模糊控制规则构成一个完整的模糊 控制系统,它的推理运算就采用多输入多 规则推理方法。 以二输入多规则为例,考虑如下一般形式: 如果 A1 且 B1,那么 C1 否则如果 A2 且 B2,那么 C2 ? 否则如果 An 且 Bn,那么 Cn. 已知: A? 且 B?, 那么 C ? ? ? Ci , C? 分别是不同论域 X , Y , Z 这里,Ai , A?、Bi , B? 、 上的模糊。 利用玛达尼推理方法,规则 “如果Ai 那么 Ci ”的模糊关系可以表示为: 且Bi , ?? Ai ( x) ? ?Bi ( y) ? ?Ci ( z) ? 系列规则中,“否则”的含义是“OR”,在推 理计算过程中可以写成并集形式。 由此,整个系列的推理结果为: C? ? ( A? ? B?) ? ?[( A1 ? B1 ) ? C1 ] ? [( A2 ? B2 ) ? C2 ] ? ? ? ?( Am ? Bm ) ? Cm ?? ? ? ? ? C1 ? C2 ? ? ? Cm 模糊关系 第一条条件规则 其中, Ci ? ( A? ? B?) ? [( Ai ? Bi ) ? Ci ] ? [ A? ? ( Ai ? Ci )] ? [ B? ? ( Bi ? Ci )] ? 其隶属度函数为: i ?C ( z ) ? ??? A? ( x) ? [ ? A ( x) ? ?C ( z )]?? ? ? ??? ??? x i i ? ? B? ( y ) ? [ ? Bi ( y ) ? ?Ci ( z )] y x A? ( x) ? ? Ai ( x) ? ?Ci ( z ) ? ? (? Ai ? ?Ci ( z )) ? (? Bi ? ?Ci ( z )) ? (? Ai ? ? Bi ) ? ?Ci ( z ) y B? ( y ) ? ? Bi ? ( y )?? ? ? Ci ( z) 例:二输入多规则的推理方法 A1 A1” B1 B1” C1” C2” C1 C1” A2 A2” B2 B2” C2 C2” 推理过程的意义:从不同的规则得到不同 的结论。 从几何意义上讲就是分别在不同规则中用 各自推理前件的总隶属度去切割推理规则后 件的隶属度函数以得到输出结果。 模糊推理系统 系统是指两个或两个以上彼此相互作用的对象所构成的具有某 种功能的集体。 模糊推理系统又称为模糊系统,是以模糊理论和模糊 推理方法等为基础,具有处理模糊信息能力的系统。模糊推理 系统以模糊逻辑理论为主要计算工具,可以实现复杂的非线性 映射关系,而且其输入输出都是精确的数值,因此已被广泛应 用。 1 模糊推理系统的结构 一、模糊推理系统的组成 模糊推理是一种基于行为的仿生推理方法,主要用来解决带有 模糊现象的复杂推理问题。由于模糊现象普遍存在,因此,模 糊推理系统被广泛使用。从功能上来看,模糊推理系统主要由 模糊化、模糊规则库、模糊推理方法及去模糊化几部分组成, 其基本结构如图 模糊规则库 模糊化 输入 输出 去模糊化 推理方法 模糊推理系统 二、模糊推理系统的工作过程 为了满足实际需要,模糊系统的输入输出必须是精确数值。 模糊推理系统的工作机理是:首先通过模糊化模块将输入的精 确量进行模糊化处理,转换成给定 论域上的模糊;然后激 活规则库中对应的模糊规则,并且选用适当的模糊推理方法, 根据已知模糊事实获得推理结果,最后将该模糊结果进行去模 糊化处理,得到最终的精确输出量。 2 模糊化(Fuzzification) 精确值进入模糊推理系统时,一般要将其模糊化成给 域上的模糊。模糊化的实质是将给定输入转换成模糊 。 模糊化有三原则: ①在精确值处模糊的隶属度最大; ②当输入有干扰时,模糊化结果具有一定的抗干扰能力; ③模糊化运算应尽可能简单。 下面介绍三种常用的模糊化方法。 一、模糊单值法 模糊单值法是将精确值为模糊单值,这种模糊化方法只是 形式上将精确值成模糊量,实质上仍然是精确量。 ~ *为转换后的模糊,则有 设 x *为实测的精确值, A ?1 x ? x* ?A ~ * ( x) ? ? * 0 x ? x ? 模糊单值法优点:易于实现模糊化运算,当输入数据准确时, 模糊化性能良好,是一种常用的模糊化方法。 模糊单值法不足:由于了所有 x ? x* 处的隶属度,因此, 输入数据抗干扰性较差。 ? ( x) 1. 0 0.75 0.60 0.40 0.25 ~ A1 ~* ~ A A2 0 1 ? * x* 2 x 3 x 二、三角隶属函数法 如果输入数据干扰严重,那么用模糊单值法进行模糊化处理将 会产生很大的误差。对于这种情况,常常采用三角形隶属函数 法进行模糊化处理。其模糊化运算比较简单,模糊化结果具有 一定的鲁棒性,是一种常用模糊化方法。 ~ 设 x* 为精确值,A *为转换后的模糊,三角隶属函数法为 ?? x ? x* ?1 ? ? ?? ? ?A ( x ) ? ~* ?? ? 0 ? ? 其中: ? ?0 ? ? ? ? x ? x* ? ? x ? x* ? ? 当给定精确值为 x*时,采用三角形隶属函数法得到的模糊 A*如图所示。可以看出: ① 当 ? ? 0 时,三角形隶属函数模糊就变成了模糊单值。 ② ? 越大, x* 的变化对? * ( x)的影响越小。即当 ? 足够大时,该 A 方法具有足够强的抗扰能力。 ? ( x) 1. 0 ~ A* 0 ? x* x 三、高斯隶属函数法 高斯隶属函数法模糊化运算较前两种去模糊方法复杂,但具有 良好的抗干扰能力,且模糊化结果更接近于人的认知特点。 ~* 设 x * 为精确值, A 为转换后的模糊,高斯隶属函数法为 ? ( x ? x* ) 2 2? 2 ~* ( x) ? e ?A 其中:参数 ? 决定了高斯函数的陡度。 3 模糊规则库 模糊规则库是由模糊推理系统中的全部模糊规则组成, 是模糊推理系统的核心部分。从某种意义上讲,模糊推理 系统的其它部分都是为了有效地执行这些规则而存在。 一、模糊规则的基本形式(省) 二、模糊规则库的基本性质 (1) 完备性 规则完备性是指对于给域 X 上的任意 x ,在模糊规则库中 至少存在一条模糊规则与之对应。也就是说:输入空间中的任 意值都至少存在一条可利用的模糊规则。这是模糊推理系统能 正常工作的必要条件。 (2) 交叉性 为了模糊推理系统的输入输出行为连续、平滑,一般要求 相邻的模糊规则之间有一定的交叉性。模糊规则的交叉性也反 映出概念类属的不明确性,通过模糊规则的交叉设计,可以提 高推理系统的抗干扰性。 (3) 一致性 如果两条模糊规则的条件部分相同,但结论部分相差很大,则 称这两条规则相互矛盾。一致性是指模糊推理系统的规则库中 不能存在相互矛盾的模糊规则。 4 去模糊化(Defuzzification) 去模糊化又称为清晰化,其任务是确定一个最能代表模糊的精确 值,它是模糊推理系统必不可少的环节。不过,由于模糊性的存在, 获得的代表模糊的清晰值可能有所不同,也就是说去模糊化方法 并不唯一。但确定去模糊化方法时,一定要考虑到以下准则: ①有效性。所得到的精确值能够直观地表达该模糊; ②简便性。去模糊化运算要足够简单,模糊推理系统实时使用; ③鲁棒性。模糊的微小变化不会使精确值发生大幅变化。 下面介绍几种在实际中经常用到的清晰化方法。 一、最大隶属度法 最大隶属度法是指选取模糊覆盖的论域中,对应隶属度最大 ~ * ,则精 的元素作为该模糊的精确值。如果给定模糊 B * 确值 y * 应满足 ? B ~* ( y ) ? ? ~* ( y), B y ?Y 。见图 ~ B* 1.0 ~ B? y* 0 Y 最大隶属度法的优点是去模糊运算特别简单 最大隶属度法的缺点是精确值包含的信息量较少。 这种方法完全排除了其它一切元素对精确值的影响,其结果是 对两个差异很大的模糊,可能获得同样的精确结果(见上 图)。为了清晰化后的精确值是唯一的,一般要求给定的 模糊是正态凸模糊。对于离散论域上的模糊,直 接取对应于隶属度最大的基础变量作为清晰值即可。 例 给定模糊 ~ 0.1 0.4 0.7 1.0 0.7 0.3 C? ? ? ? ? ? 2 3 4 5 6 7 试用最大隶属度法求其清晰值。 解:按最大隶属度的原则清晰化,清晰值为 y* ? 5 显然,对于隶属函数只有唯一最大值的模糊,最大隶属度 去模糊化方法是适用的。但模糊推理系统的实际推理结果,其 最大隶属度对应的基础变量可能并不唯一,甚至有无穷多个基 础变量与之对应。比如采用Mamdani方法进行推理得到的结果, 其清晰值往往是不唯一的,如图。对于这种情况,可以采用以下 三种方法清晰化处理: 1.0 ~ B* ~ B? y* R Y 0 y* L * yC ⑴ 左取 取模糊隶属函数左边达到最大值时所对应的基础变量值作为 清晰值的方法。即 * yL ? inf ( y* ), ? ( y* ) ? sup ? ( y) y?Y (3.3.7) 其中inf为取最小值运算。 ⑵ 右取 取模糊隶属函数右边达到最大值时所对应的基础变量值作为 清晰值的方法。即 * yR ? sup ( y* ), ? ( y* ) ? sup ? ( y) 其中sup为取最大值运算。 y?Y (3.3.8) ⑶ 最大平均法 取最大隶属度对应的所有基础变量的平均值作为该模糊的精 确值。对于下图,有 1.0 ~* B ~ B? y* R Y * yC ? * ( yL ? 2 * yR ) 0 y* L * yC 1.0 ~* B ~ B? y* R Y 0 y* L * yC ~ * 和 ~ 两个模糊 由上图可以看出,虽然模糊推理结果由 B B? 构成,但只要采用最大隶属度法(包括左取大、右取大和最大平 ~ 均法)去模糊化,模糊 B ? 对最终获得的精确值没有任何贡献。 说明最大隶属度法对模糊信息的丢失十分严重。 二、重心法 重心法是指取模糊隶属函数曲线同基础变量轴所围的 重心对应的元素作为清晰值的方法,也是一种常用的去模糊化 方法。在连续论域 Y 上,重心法的计算公式为: y ? * ?y y x min y? ( y )dy ? y ? ( y )dy min y x 其中,y * 为清晰化量, y ? Y , ? ( y ) 为模糊集隶属函数。 下图给出了在连续论域上,用重心法去模糊化的计算结果。 1 .0 ~ B? ~* B 0 y* Y 在离散论域上,重心法的计算公式为 y* ? ? ( yi ? ( yi )) i ?1 N ? ? ( yi ) i ?1 N 其中 N 为论域中的元素个数, y i 是指论域中的第 i 个单点模糊 值, ? ( y i ) 为 y i 对应的隶属度。 重心去模糊化方法的优点是充分利用了推理结果中的所有模糊 信息,得到的清晰值具有很好的鲁棒性。缺点是计算要求比较 高。特别是当推理得到的隶属函数不规则时,对其进行积分是 一件困难的事情。 三、中心平均法 模糊推理的结果往往是多个模糊的并或交,其隶属函数的 表达形式比较复杂。最大隶属度法虽然计算简单,但丢失的模 糊信息太多,精确化结果鲁棒性较差;重心法充分利用了推理 结果中的全部模糊信息,精确化结果的鲁棒性也较好,但这种 方法对计算的要求较高。于是,出现了中心平均去模糊化法, 其实质上是最大隶属度法与重心法的折中。 * 若模糊推理结果由 N 个模糊构成,现在令 yi 为第 i 个模糊 i 的中心, ? x ( y) 为该模糊对应的最大隶属度,则中心 平均去模糊化方法得到的清晰值 y * 为 y* ? * i ( y ? i ?x ( y)) i ?1 N ?? i ?1 N i x ( y) (11) 显然,中心平均法既避开了求取隶属函数的积分运算,同时又 考虑了各个模糊对精确值的影响。该方法计算较简单,清 晰化的鲁棒性较好。 当 N = 2 时,即模糊推理结果由两个模糊构成,采用中心平 均法去模糊化运算过程如图 ? ( y) ? 2 x ( y ) 1 ? x ( y) ~ B1* ~* B2 0 * y1 * y* y2 Y * 图中的清晰值 y 为 * 1 * 2 y ? ( y ) ? y * 1 x 2 ? x ( y ) y ? 1 2 ? x ( y ) ? ? x ( y) 中心平均法去模糊化首先求出推理结果中各模糊的中心, ~* ~* 然后求出其最大隶属度。由于图中给出的模糊 B1 和 B2 都 是对称的正则凸模糊,它们的隶属函数最大值及其中心的 求取都十分方便。其实,对于一般的模糊推理系统,其后件隶 属函数更多的是一些对称的规则曲线,因此模糊中心的求 取比较容易。而重心法需要计算多个模糊合成后的重 心,其运算比较复杂。 对于有 N 个元素的离散论域,模糊的中心 yi* 实质上就是模 i 糊单点值 yi ,最大隶属度 ? x ( y) 实质上就是 yi 对应的隶属度 * y 为 ? ( y i ) ,则中心平均去模糊化方法得到的清晰值 y* ? ? ( y i ? ( y i )) i ?1 N ? ? ( yi ) i ?1 N (13) 比较式(13)和式(11)不难发现,在离散论域上,中心平均法与重 心法去模糊化的结果是等价的。 5 模糊推理系统设计 模糊推理系统由模糊化、模糊规则库、模糊推理方法及去模糊 化几部分组成,其设计实质上就是对上述功能模块的设计。不同 的模糊化、模糊推理和去模糊化方法,可构成不同的推理系统。 将前面分别介绍的模糊化方法(模糊单值法、三角形隶属函数法、 高斯隶属函数法)、模糊推理法(Mamdani法、Larsen法、Zadeh 法)和去模糊化方法(最大隶属度法、重心法、中心平均法)进行组 合,可以得到27种不同的模糊推理系统。可见,模糊推理系统的 设计不是唯一的。

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